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易卦——古老而常新的认识宇宙的数学系统
作者:  来源:  访问次数:2694  更新时间:2013-8-9
易卦——古老而常新的认识宇宙的数学系统
 
内容提要
本文论证了“易卦”是布尔向量的原型,从而提出了易卦是思维决策的数学模型,进一步建立了《周易》研究的一种新的逻辑体系,并分析了前人易学研究的得失,为易学研究的现代化提出了一条新途径。
 
电脑的发明使人类文明走向了以数字化、网络化和集成化的信息革命时代,计算或算法的观念已经渗透到宇宙学、物理学、生物学乃至经济学和社会科学等诸多领域。计算已不仅成为人们认识自然、生命、思维和社会的一种普适的观念和方法,而且成为一种新的世界观——计算主义。计算主义相信,整个世界都是由算法控制,并按算法所规定的规则演化的。这种观点不论其正确与否,但它的由来已久。早在古希腊时代,毕达哥拉斯学派就提出了“万物皆数”的思想。文艺复兴时期的著名学者也有人持类似的观点,如开普勒认为:“数学关系表达了世界的本质,……按照数学原理而建立起来的宇宙乃是一个和谐的整体。……世界上的一切都是简单的,因为一切都由数学比例决定”。【1】到了17世纪,由于数学的蓬勃发展,随着科学的数学化,数学在解析宇宙方面做出了杰出的贡献,使得人们更加坚信“大自然是上帝按数学设计的”,数学家则是“上帝派来解释设计方案的天使"。在对这一思想寻根探源,认祖归宗的时候,我们千万不能忽视中国古老的易经的先驱作用。
笔者曾经提出“易卦是古人思维决策的数学模型”【2】、“象数之学与古希腊的思维方法相比较,我们就可以发现其明显的差异,但有一些却很相似。即他们认识客观世界的思维中,都对应一个数学系统”。【3】并且指出:古希腊人对应的是欧氏几何系统,《周易》对应的则是布尔代数系统。总之,笔者认为:在《周易》的卦爻系统中,隐含着一个模糊的、庞大的、有待开发的数学计算系统,它是人类认识世界的数学系统的雏形,也是今天计算主义的鼻祖。本文将对这一结论作一些探讨。
一、易卦——布尔向量的原型
      天地之间,包罗万象,有些事情, 彼此之间好像并无共同之处,但是从数学的抽象看,它们却又有许多共同的性质。例如:
   (—) 下图是某种电子元件的电路图,其中①②③④⑤⑥表示六个开关,如果把处于接通状态的开关记作1,处于断开状态的开关记作0,则此电路的状态可表示为(0,1,1,0,0,1)。
 
 (二) 甲、乙两国进行围棋对抗赛,双方各派六名棋手进行六场比赛,下表是双方胜负的记录:
场次
1
2
3
4
5
6
甲国
乙国
如果把甲国获胜记作1,甲国失败记作0,那么,这次对抗赛的成绩也可以表示为 (0, 1, 1, 0, 0, 1)。
   (三) 某医生对一位病入进行诊断,需要化验六项指标,下面是化验室提供的化验报告单:
指标
1
2
3
4
5
6
反应
+
+
+
如果我们依次用1代表阳性反应 (+),用0代表阴性反应(一),则这位病人的检查报告可表示为(0, 1, 1, 0, 0, 1)。
   这样的例子可以说应有尽有。上面所举的几个例子,虽然它们的具体内容各不相同,但是都有下列共同属性:
   1、每一个问题都涉及六个因素。如六个开关、六场比赛、六项指标等。
   2、六个因素按既定的顺序排列。
   3、每一个因素都有两种相互对立的状态。如开关的接通与断开,比赛的胜利与失败,反应的阴性或阳性等。
    因此,这些性质迥异的事物,都可以用同一个数学模型 (0, 1, 1, 0, 0, 1) 来描述它们的状态。
    这个数学模型今天被人们称为布尔向量,其实它就是中国古老的易卦。因为在一个易卦中,如果用数码1来代替阳爻“一”,用数码0来表示阴爻“--”,并且把从下到上的次序改为从左到右,把直写改成横写,那么就得到一个布尔向量。例如蛊卦   改写后就成为(0,1,1,0,0,1)。完全类似的,随便拿来一个卦,都可以写出一个和它对应的布尔向量,例如:
   (蒙卦)——:(0,1,0,0,0,1)
   (益卦)——:(1,0,0,0,1,1)
   反过来也一样,随便写出一个布尔向量   都可以得到一个和它对应的卦。例如:
(0,0,0,1,1,1)—— (否卦)
(0,0,0,0,0,0)—— (坤卦)
    布尔向量是由0和1两个数码按一定的顺序排列起来的数组,0和1在布尔向量中的全部含义只是两个不同的符号而已,与它们作为自然数的性质没有关系。如果不用0和1而用另外两个别的符号,同样可以表示一个布尔向量。数码的个数称为它的维数, 例如(1,1,0,1)是四维布尔向量,(0,1,1,  0,0,1)是六维布尔向量,等等。它是英国哲学家布尔(G·Boole,1815-1864年)在对逻辑思维法则的研究中引进的。他的研究工作后来发展为一门独立的数学分支——布尔代数。我们熟悉的逻辑代数,就是布尔代数。
“布尔向量”是现代数学的一个重要概念,它不仅在许多重要的数学分支中有广泛的应用,而且在许多自然科学、社会科学、人文科学以及技术科学中都有十分广泛的应用,它被广泛地采用为描述那些具有两种对立状态的事物的数学模型,以便对事物的变化进行数学分析。                          
布尔问量看起来很简单,但它对于描述事物的状态却具有特殊的功能。
复杂的集成电路的设计或检验,都离不开布尔代数。计算机程序的设计,从本质上讲就是0和1两个数码的适当组合,或者说是布尔向量运算的结果。数码相机能十分精确地拍摄下客观世界中各种事物的形象,也是利用了布尔向量的原理。
高明的律师在法庭辩论的时候,常常向诉讼的另一方提出一系列的问题,要求对方对每一个问题回答“是”与“不是”,而不作任何描述和解释。律师按所提问题的次序,把对方回答为“是”的记作1,为“不是”的记作0,那么就得出一个布尔向量。于是律师的脑海里就形成了案件情节的基本轮廓以及如何辩论的大致方案。
如上面所论证的,《周易》中的易卦实际上就是布尔向量的原型,不仅在形式上相同,在使用的方法和功能上也完全一致。我国著名哲学家冯友兰先生说过:“《周易》是一部关于宇宙的代数学。”如果给这句话中的“代数学”加一个定语,说的更明确一些;“易卦是一部关于宇宙的布尔代数学”,就更准确而清楚了。如果今天我们把“布尔向量”正名为“易经向量”或“伏羲向量”,在举世尊重知识产权的今天,布尔先生泉下有知,也是不会提出异议的。笔者对此曾有诗曰:
谁将零一易阴阳, 卦象原型向量彰。电路集成新代数, 机芯编序旧文章。
    仰观俯察先贤业,远绍旁搜后学纲。夜雨青灯常挂梦, 羲皇犹自画苍茫。
 
二、认识世界和思维决策的数学模型
 
人类认识宇宙的过程,开始总是和神学、宗教等联系在一起的,并且自始至终,也是和数学联系在一起的,中国的《周易》算得上一个典型的例子。
《周易》是一部什么样的书?
《系辞下传》说:“昔者圣人之作易也,仰则观象于天,俯则观法于地,观鸟兽之文,与地之宜,近取诸身,远取诸物,于是始作八卦,以通神明之德,以类万物之情。”说明了易经中的卦,是古人通过对天地一切事物的观察,从各种不同的方面抽象出来的一种“通神明”、“类万物”的模式。对这一模式“参伍以变,错综其数。通其变,遂成天下之文;极其数,遂定天下之象。非天下之至变,其孰能与于此!”通过对易卦模式的分析和计算,可以帮助人们认识世界变化的规律,研究其中不变的原理,从而解决各种疑难问题。
古人把这一模式看得极为重要,认为掌握了这个模型,就懂得天下的道理,掌握了天下的道理,成功也就在其中了。(“易简而天下之理得矣,天下之理得,而成位乎其中矣”)。《周易》是开启智慧,成就事业,包括天下一切道理的模式,圣人可以凭借它来了解天下的动态,奠定天下的事业,判断天下的疑问(“夫易何为者也?夫易开物成务,冒天下之道,如斯而已者也。是故圣人以通天下之志,以定天下之业,以断天下之疑”。使用这一模式是符合天地之道的“易与天地准,故能弥纶天地之道。仰以观于天文,俯以查于地理,是故知幽明之故。原始反终,故知死生之说)。人们时时刻刻都在使用这一模式,只是不自觉而已,因此这一模式未能为大众所掌握(百姓日用而不知,故君子之道鲜矣!)。
那么圣人又是怎样使用这一模式的呢?《系辞上传》将它概括为“圣人设卦、关象、系辞焉而明吉凶,刚柔相推而生变化。”这就是说,古人利用易卦的思维模式来决策断疑时,是按“设卦”、“观象”、“系辞”这三部曲来进行的。
   古人在复杂的社会生活中,会遇到许多决策的问题。这里所说的决策是一个较为广泛的概念,诸如形势分析、目标控制、行动方案、后果预测,等等,都可以包括进去。在决策之前,先要收集各种有关的信息,这些信息会设计到许多因素。对于一些多因素的决策系统,涉及的因素虽然千差万别,但每种因素大致可以表现为两种对立的状态,如生克、动静、高低、胜负、兴衰、强弱、进退、向背等等,而两种对立状态又大致可归结为对人们所考虑的决策系统有利还是不利 (或者说是吉还是凶)。对这些信息必须作些记录。在纸笔还没有问世的古代,记录是很困难的。“上古结绳而记,后世圣人易之以书契”。这里所说的“书”就是画,“契”就是刻,画的和刻的是一些简单的符号。 把有利的因素用符号“一”表示, 不利的因素用符号“- -" 表示,那么记录的结果就必然得到一个卦(数学模型布尔向量)。(为什么古人要使用阴阳爻这两个符号,此处从略。有兴趣的读者请参看拙著《周易新解》一书【4】) 很多决策问题一般常考虑三个因素,如“天时、地利、人和”,“德、才、资”,“政治、军事、经济”,等等。这种三因素的决策系统,其数学模型就是“八卦”。特别地,如果考虑了三个因素,就得到一个三爻卦;考虑了六个因素,就得到一个易卦。这种做法,即使今天,也仍然被广泛地使用,只是使用的符号可能不同而已。
    例如,人们熟悉的田忌赛马的故事:   战国时期,齐王喜欢和大臣田忌赛马。双方分别有上、中、下 马各一匹,每次比赛时三匹马分别出场一次,一对一地进行三场比赛,每场胜负一千金。田忌的马和齐王的马比较略有逊色,处于劣势。田忌的上马不敌齐王的上马,但胜过齐王的中马和下马;田忌的中马不敌齐王的上马和中马,但胜过齐王的下马。过去,田忌总是用自己的上马去对齐王的上马;用自己的中马去对齐王的中马;用自己的下马去对齐王的下马,因而三场皆负,每次输掉三千金。后来,田忌的谋士孙膑向田忌献策:用上马对齐王的中马,用中马对齐王的下马,用下马对齐王的上马。结果田忌的下马虽然输了一场,但上马和中马都取得了胜利,两胜一负,反而赢得一千金。孙膑发现:当齐王的三匹马出场的次序一定时,田忌的三匹马按不同的顺序出场会有不同的结果。如果用阳爻(1)代表田忌获胜,用阴爻(0)代表田忌失败,那么把比赛的结果记录下来就是一个三爻卦:
                  三匹马出场顺序               比赛结果:
齐王     上马     中马    下马             
田忌     上马     中马    下马          (0,0,0)——坤卦
             上马     下马    中马          (0,0,1)——艮卦
             中马     上马    下马           (0,1, 0) ——坎卦
             中马     下马    上马          (0,0,1)——艮卦
             下马     上马    下马          (1,1,0)——兑卦
             下马     中马    上马          (0,0,1)——艮卦
   随着社会的发展,人们的社会活动越来越丰富,需要决策的问题,也越来越复杂,决策时需要考虑的因素更多。有时某些决策系统要由两个三因素的小决策系统来共同确定,或者要分成两步,每一步都涉及一个三因素决策系统。这样整个决策系统就要考虑到六个因素,其对应的数学模型就是《周易》中的某一个六爻卦。这种六爻卦可以看作是由八个三爻卦中每次取两个重叠起来的。例如,一个诸侯国准备进攻另一个国家,决策人必须要分析战争的各种条件,假如他们考虑了六个因素:政治、经济、军事、外交、民心、时机,决策者认为,政治、军事、民心都对自已有利,记作“一”;经济、外交、时机对自已不利,记作 “--”。那么决策人把分析的结果按这六个因素排列的次序记录下来,就得到一个易卦口,即既济卦。若用今天的数学符号表示,则是六维布尔向量( 1,0,1,0,1,0)。
   这一过程就是“设卦”。 
 设卦之后,便对卦的状态进行综合分析。由于有些因素对于决策系统有利或是无利是相对的,它可能随时间、地点等发生变化,也可能因为人的干预、控制而专向对立,所得的卦也随之变化,即“刚柔相推而生变化”,象数学家把它们称为“变卦”或“挂变”,包刮“变爻”、“错综”、“消息”、“往来”、“互卦”等等。这样就对所设卦的性质及其各种可能的演变有了一个明确的、全面的概念。为了形象地描述卦的性质,人们又用一些常见的自然或社会现象做一个形象的、概括的比喻,例如用水火不容来描述卦中的乖离现象,用如日中天来描述卦中的上升徵兆等等。因为一个易卦可分为上下两个三爻卦(经卦),三爻卦共有八个,人们常用天、地、风、雷、水、火、山、泽这八种事物来表示八经卦,因此《周易》中就常见用其中两种事物来形象的描述一个卦,称为“卦象”。
确定、观察、分析“卦象”,就是观象。“天高地卑,乾坤定矣。卑高以陈,贵贱位矣。动静有常,刚柔断矣。方以类聚,物以群分,吉凶生矣。在天成象,在地成形,变化见矣”。通过观象,对卦的性质,也就是所考虑的决策系统的状态有了一个明确的印象,这时便可以作结论了。
    把结论写下来就是“系辞”,“系辞焉而明吉凶”即此之谓也。
我们今天看到的《周易》经文就是古人的“系辞”。《周易》的经文与易卦系统又是什么关系呢?笔者认为:《周易》经文是古人解释如何使用易卦模式来进行思维决策的例题,与数学课本中为了说明一个定理的性质和用法而举的例题差不多。每一卦相当于一篇例题形的论文,卦辞相当于文章的总纲或提要,六条爻辞则为详细的论述。试以《同人》卦为例以说明之:
同人卦的卦画为×,其中第二个因素为不利因素,其余五个因素都是有利因素。这是“设卦”。同人卦的上卦是乾卦,乾为天;下卦是离卦,离为火。火可以是战火的火,火在天下,意味着战争从天而降。因此,离卦的象就是面对天降的,即外来的、强加于我的战争,或者说外敌入侵的战争。同人卦的卦爻辞就是就是讲述一次对付外敌入侵的例题。试看卦爻辞是怎样说的:
                     同人:同人于野,亨。利涉大川,利君子贞。
初九  同人于门,无咎。
六二  同人于宗,吝。
九三  伏戎于莽,升其高陵,三岁不兴。
九四  乘其墉,弗克功,吉。
九五  同人先号咷而后笑,大师克相遇。
上九  同人于郊,无悔。
“同人”是聚集民众的意思,“同人于野”是说民众在郊野聚集起来,这是政通人和,万众一心的表现。“利涉大川”比喻能渡过大江大河,克服一切困难。
初九爻辞中“同人于门“的“门”指王门。古代在遇到敌人入侵等大事时,就在王门召集民众去抵抗(若国有大故,则致万民于王门。——《周礼司徒》)。能发动民众,进行一场全民战争,自然没有灾祸,所以说“无咎”。这是有利因素,故记以阳爻。
六二爻辞中的“宗”指宗庙,“同人于宗”指限于在王室内部动员,那就有“吝”,即危险。因为宗室人少,战争得不到全国民众的支持,就难以取胜。这是不利的,故记以阴爻。
“同人于门“还是”同人于宗“,不仅是两种战略思想的斗争,也是人心向背的反映。
九三爻词讲的是具体战略战术的运用。敌人远道入侵,要求速战速决。我军则应该暂避其锋,以逸待劳。埋伏军队,抢占地形,但长期不主动出击。爻辞用“伏戎于莽,升其高陵,三岁不兴”,概括了积极而主动地防御。采取这种战术有利,故用阳爻表示。
九四爻辞用“乘其墉,弗克攻”描述敌人来势汹汹,冲上了城墙,最后却无法攻进去。生动地刻画了敌人虎头蛇尾,在我正确的战略战术下由强变弱,无可奈何而溃退的场面。对我有利故用阳爻。
九五爻辞指出战争中不可避免地有所牺牲,有人为国捐躯,有人毁家纾难,难免有民众失声痛哭;于今抗敌大军胜利会师,高歌奏凯之时,要注意做好善后安抚工作,论功行赏,弔死恤伤,让民众开怀大笑。能采取有利措施,用阳爻。
最后,上九爻辞描写军队胜利归来,君王在郊外聚集民众,举行盛大的庆典,祭祀天地,总结经验。也是正确而有利的做法,故记阳爻。
综上所述,同人卦可以分为三部分:战前决策——全民战争的思想(初九、六二);战中斗智——以逸待劳的战术(九三、九四);战后措施——安抚民众,总结经验(上九)。我国历史上有许多以弱胜强的著名战例,齐鲁长勺之战就是其中最脍灸人口的故事。曹刿论战的“远谋”,很有可能就来自《周易》的《同人》卦。
 
 三、易学研究的历史误区
 
然而令人遗憾的是:我国历代的易学研究对这一系统并没有充分的认识和正确的阐述。一般地说,易经研究的方法大抵可以分为四种类型:象数派、义理派、训诂派和科学派。象数学派的研究者们使用象数之学研究《周易》,比较接近易学的起源,但他们偏重于象而很少涉及到数,名曰象数,实际则是重象轻数,甚至有象无数,更没有把握易卦作为一个代数系统的整体作用。至使很多问题他们无法自圆其说。义理派则扫除象数,专谈义理。许多人都将自己的哲学观点“援易以为说”,更远离了《周易》的数学系统。训诂派则从根本上抛开了易卦,认为“这些挂画其实也没有什么实际意义,与卦爻辞也没有必然的联系,和抽签的号码差不多”5。如同“现代的各种神祠佛寺的灵签符咒”6。训诂派的研究者们虽然在对《周易》的训诂方面取得了相当的成就,但把易卦的意义和作用粗暴地抹杀了。科学派的研究者们虽然注意到了《周易》卦爻中的数学系统,但是他们的许多研究工作,却又往往把人引入岐路。如宋朝数学家秦九韶(1202_1261)发明了一次同余式组的解法,那是数学史上一项重要的成果,国外称它为“中国剩余定理”,但秦九韶却硬说它是《周易》的产物,因而称它为“大衍求一术”。近代学者薛学潜的《易与物质波量子力学》(1937),刘子华的《八卦理论与现代天文》(1940)之类的著作,堪称“科学易”的鼎力之作7,但是都过分夸大了《周易》对现代自然科学的具体指导作用。毋用讳言,在古老的《周易》经文中,不大可能有现代科学的内容和预见,易卦作为一种符号系统,虽然可以表示某些科学内容,但也只有符号的意义,与科学的具体内容无关。把《周易》无限的神秘化,本身就是不科学的。科学易的某些做法,反而掩盖了易卦布尔向量的本质,从而掩盖了《周易》作为哲学意义下的“计算系统”的作用。
在历代易学大师的研究中,值得注意的还有邵雍(1011-1077)。邵雍向前后两个方向扩展了易学研究。一是把易学史的研究推进到伏羲画卦之前的自然易,"须信画前原有易,自从删后更无诗”。他把“易”的发展分成了两个阶段:伏羲画卦之前的易是只与占筮有关的易学,伏羲画卦之后的易引进了数学系统,成为认识世界,研究谋略的易学,发生了质的变化。二是写作了《皇极经世》一书,“皇极”二字出自《尚书·洪范》,至大之谓“皇”,至中之谓“极”,至正之谓”经“,至变之谓“世”。邵雍欲用“大中之道”治理人世。他像毕达哥拉斯一样,立足于数,以神秘的数学图式来建立他的世界观。他主观地编制了一张世界历史发展的时刻表,认为世界会按照他规定的时间表周期性的变化,固然十分荒诞。但他是在尝试做贯通天人的计算,作为一种哲学思辨却不失为当代计算主义的先声。
邵雍还提出了《周易》六十四卦新的排序方法,制作了《先天八卦图》。1700年,德国数学家兼哲学家莱布尼兹当选为巴黎法国皇家科学院的外籍院士,他给巴黎科学院提交了一篇题为《数字新科学论》的论文。内容是介绍他发明的二进制算术的。但是法国科学院以看不出二进制有什么用处为理由,婉言谢绝发表该论文。莱布尼兹本人也未看出二进制有何实用价值,也表示不必发表,他准备从数的理论方面进一步进行研究。后来他得到了在中国的传教的法国教士白晋的帮助,白晋把邵雍的《先天图》寄给了莱布尼兹。莱布尼兹收到了邵雍的伏羲六十四卦图以后,惊奇的发现,易卦与他发明的二进制数具有同构关系。于是认为这是二进制算术的一项“巨大用处”,因为它破译了中国几千年来人们不能理解的千古之谜,这是一个里程碑式的巨大发现。正是这个“巨大用处”,使莱布尼兹的二进制算术论文得以立即在法国皇家科学院院报上正式发表7】。
由于这段历史,从上世纪80年代起就有一个长达二十多年的讨论,即莱布尼兹二进制数的发明与邵雍的关系究竟是怎样的?由此而形成两派意见:一派意见认为邵雍的《先天图》不是二进制的记数方法,或至少不是一种自觉运用的二进制的记数方法;莱布尼兹在其发明二进制之前并未看到邵雍的《先天图》。另一派意见认为,邵雍的《先天图》就是二进制的记数方法,莱布尼兹在其发明二进制数之前看到并借鉴了邵雍的《先天图》。
不过这样的争论并没有多大实际的意义,二进制数虽然与易卦具有同构关系,但并不能进一步阐释易卦作为一种认识世界的计算模式的本质。虽然无论是把易卦看作二进制的数还是看做布尔向量,都是用0和1来代替阴爻和阳爻,但两者有本质的区别。第一,二进制的0和1有固定的含义,它们都是数,不能换成别的符号,也不能随便表示其它事物,不具备”一阴一阳之谓道“的功能,布尔向量则恰有这一功能。第二,二进制数运算的结果始终是一个数,不会有“知幽明”,“定吉凶”的逻辑结果。而布尔向量运的结果是逻辑结论。实际上,把易卦看成二进制数,对认识易卦作为布尔代数系统也同样带来了干扰。
四、古老而常新的认识世界的计算系统
综上所述,我们可以说:中国古老的《周易》是一个以布尔代数为雏形的认识世界的数学系统,它是世界上最古老的同时又能与时俱进的计算模型。在今天,这一系统仍然具有巨大的生命力。我们认识世界,决策断疑,仍然尊循着这个模式。例如,某企业要研判某项投资是否可行,大抵会采取如下步骤:首先收集一切与该项目有关的信息,对其进行初步的分析,了解该项目与那些因素有关;初步推断这些因素中那些对该项目有利,那些不利;不利或有利的状态能否改变?这就是“设卦”。然后对投资项目进行综合分析,对各种可能的结果在计算机上进行模拟。这就是“观象”。最后写出可行性或不可行报告,这就是“系辞”,仍然基本遵循着易卦的模式。与古人不同的只是:今天我们有更先进的手段获取信息,更先进的方法处理数据,并能把它编成程序,对其结果在计算机上进行模拟。而模拟的编程设计,也离不开布尔代数。此外,人们对《周易》的长期研究,积累了极其丰富的、宝贵的思想财富,把易学的哲学理念与易学的科学方法结合起来,在今天的计算工具的帮助下,必将对人类的事业,取得事半功倍的效果。
注释
【1】王鸿钧,陈宏发:数学思想方法引论。北京:人民教育出版社,1992。第375页。
【2】欧阳维诚:周易新解。北京:中国书店出版社,2009.第24页。
【3】欧阳维诚:数学——科学与人文的共同基因。长沙:湖南师范大学出版社,2000.第32页。
【4】同【2】。
【5】李镜池:周易通义。
【6】郭沫若:《周易》时代的社会生活,转引自《十家论易》。长沙:岳麓书社,1993。第12页。
【7】蔡尚思主编:十家论易。长沙:岳麓书社,1993。第1025、1341页。
【7】孙小礼:
 
 
 
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